Cebir, aritmetik işlemlerin işaretler, harfler ve sayılarla genelleştirilmesine yönelik bir matematik dalıdır. Cebirde, harfler ve işaretler sembolizm yoluyla başka bir varlığı temsil eder.

Öte yandan, doğrusal, bir çizgiye neyin bağlantılı olduğunu gösteren bir sıfattır (bir çizgi veya bir sıra). Matematik alanında, lineer düşünce, bir nedenle orantılı olan sonuçları ifade eder.

Matrisler, vektörler, vektör uzayları ve lineer tip denklemlerle çalışan cebirin uzmanlaşmasıyla lineer cebir olarak bilinir. Alman Hermann Grassmann'ın (1809-1877) ve İrlanda William Rowan Hamilton'un (1805-1865) katkılarıyla, özellikle 1840'larda gelişen bir bilgi alanıdır.

Vektör uzayları, boş olmayan bir set kaydedildiğinde ortaya çıkan, harici bir işlem ve bir iç işlemdir. Vektörler, vektör uzayının bir parçası olan öğelerdir. Matrislerle ilgili olarak, lineer denklem sistemlerinin sahip olduğu katsayıların temsilini sağlayan iki boyutlu bir sayılar kümesidir.

William Rowan Hamilton, matematik alanındaki en önde gelen isimlerden biridir, çünkü kuaterniyonları yaratmasının yanı sıra "vektör" terimini kullanan odur. Bu kavram, karmaşık sayılarla olduğu gibi gerçek sayılardan uzanır ve dört boyuttan oluşan gruplar, büyüklük ve adrese sahip olmak isteyen üç boyutlu miktarları okurken çok faydalıdır.

Kuaterniyonu oluşturan sayılar belirli toplama, çarpma ve eşitlik kurallarına uymalıdır . Bu keşif matematik için çok önemliydi. Reel sayılar kümesi ile ilgili olarak, rasyonellerin bulunduğu (sıfır, pozitif ve negatif) ve irrasyonel (ifade edilemeyen) olarak tanımlanır.

Doğrusal cebir tarafından ele alınan elemanların tanımlanmasından sonra, adından da anlaşılacağı gibi, bir doğrusal denklem sisteminin oluşturulduğunu bilmek önemlidir; değişmeli bir halka veya bir vücut .

Doğrusal cebirin incelenmesinin odağı olan vektör uzayları iki kümeye sahiptir: vektörlerden biri ve skalerlerden biri. Skalerler, yönleri olmasa da, büyüklükteki bir fenomenin tanımını gerçekleştirmek için kullanılan matematiksel cisimlerin elementleridir; gerçek, karmaşık veya sabit bir sayı olabilir.

Doğrusal dönüşümlerde, vektörler her zaman skaler diziler değildir; Herhangi bir kümenin elemanları olmaları da mümkündür. Öyle ki bir vektör alanı, sabit bir alandaki herhangi bir setten doğabilir.

Doğrusal cebirin bir başka ilgi alanı, vektör uzaylarının üstüne ilave yapılar yüklendiğinde ortaya çıkan özellikler grubudur; bunun çok sık rastlanan bir örneği, bir iç ürün sunulduğunda, yani iki vektör tarafından oluşturulan açı veya bunların uzunluğu gibi kavramların ortaya çıkmasına neden olan bir çift vektör arasında bir tür ürün sunulduğunda meydana gelir. .

Doğrusal cebirin, bazıları diferansiyel denklemler, fonksiyonel analiz, mühendislik, işlem araştırması ve bilgisayar grafikleri gibi matematiğe ait olmayan diğer birçok kişiye bağlanan aktif bir alan olduğunu söylemek doğrudur . . Ayrıca, modül teorisi ya da çok hatlı cebir gibi matematiğin alanları doğrusal cebirden geliştirilmiştir.